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个人觉得这是一个很有意思的问题,可能很多人看到过类似的,值得去思考一下。实际上,之前我在奇迹号网站上就具体讨论过此类问题,有兴趣的可以点击:http://www.qijihao.com.intprotech.com/a=291

问题的答案是:可以。这里,我仔细地说明一下量出一升水的操作步骤。

为了叙述的简明性,我们先看能不能量出5升的水呢?

过程如下:

  1. 用两桶A倒进B桶,A桶剩7升,再倒入B桶。

  2. 继续用两桶A倒入B桶,这时A桶还剩14升,还是倒入B桶。
  3. 接着用一桶A倒入B桶,这时A桶剩5升。

有了上述的预热,是不是可以去想想1升水咋得到。可能不太好想。。。。

是这样的,继续量5升的过程:

4. 将A桶里的5升水倒入B,再用两桶A的水倒入B,此时A桶剩12;

5. 将A的12升水倒入B,再用一桶A倒入B,此时A剩3;

6. 继续将A的3升水倒入B,再将两桶A倒入B,此时A剩10;

7. 将A的10升水倒入B,用一桶A倒入B,A剩1升水。

可以看出,量取水的过程就是一直用A桶的水去填充B,得到能剩下的水量。整个操作所得到的数量依次为:

7>23>14>5>21>12>3>19>10>1>17>8>24>15>6>22>13>14

到14就重复了,过程结束。

同理,我们也可用B桶去填充A桶所剩下水量:

9>18>2>11>20>4>13>22>6>15>24>8>17>1>10>19>3>12>21>5>14>23>7>16

可见,算上B桶的25升,1到25的每一个数字对应的水量都可以量出来。

那么夸张一下,如果给你一个1256升和782升的木桶,问你都能量出几升的水?这时候,再按照原问题的过程去一步步推,那恐怕有些累。我们需要在理论上直接回答,可以将问题一般化:

两个木桶,容量分别为A和B,最小能得到多少量的水?(都能量出多少的水?)

注:A≠B均为正整数

不难看出,量出的水量只能是如下形式:0<aA+bB<max{A,B}, a,b为整数.

那么可以根据最大公约数的性质推断出:

能得到的最小水量为 A和B的最大公约数。

所能得到的水量只能是最小水量即最大公约数的正整数倍。

这也就是说,如果B>A, A和B的最大公约数记为V,且 B=q×V,则可以量出的水量有q个:V, 2V, 3V, ..., (q-1)V, B.

详细地论证可以参看我在奇迹号上的文章,这里不再赘述。

 

这个问题可以用数学表达为求16x-25y=1或者25y-16x=1的问题。其实也就是整系数多元一次不定方程ax-by=c的求整数解问题。

我国很早就有相关的论述,名字就是“大衍求一术”。数学家秦九韶的秦左表可以很方便的解出该问题,民间也有相关的有趣传闻,其中一个特例名字就是韩信点兵。该问题的解答方案“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子相逢整半月,除百余五便得知”更是脍炙人口。

而西方直到数学天才高斯出现才有相关的讨论,并且该讨论较之秦九韶的方法尚有不足。不知不觉中又增强了我们的民族自豪感哈。

该类问题的有解的充分必要条件是常数项是系数项最大公约数的倍数。25与16的最大公约数是1,所以该问题有解。

对于一般的ax-by=c的求解方案为:首先求出ma除以b余1的整数解,设置商为n则解的通项为m+kA/a,n+kA/b,k为任意整数,A为a和b的最小公倍数。

补充一个图片,用于数学爱好者探讨研究,该图片描述的是欧拉关于该题的解答,也就是上文提到的高斯整理的。

根据秦左表或者上文图片的方案可以得到本题的一个特解为11,7。即使用11次小桶和7次大桶即可。解决方案为,连续使用小桶从存水处取水向大桶装,大桶装满后即倒回存水处,反复装11次,此时大桶倒掉7次,还剩下1升水。
(图片与题目无关)

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